Настоящая научно-методическая разработка посвящена изложению современной теории многозначных сжимающих отображений и приложению этой теории к изучению разрешимости операторных уравнений, в которых главной частью является линейный замкнутый сюръективный оператор. Такие уравнения естественно возникают в различных разделах современной математики. Эта разработка содержит как известные результаты (теорема Надлера, теорема Ричери и др.), так и новые, полученные автором