Нет обложки

Первый параграф предлагаемой вниманию читателя книжки посвящен доказательству следующей теоремы, найденной математиками Бояй и Гервином: если два многоугольника имеют одинаковую площадь, то один из них можно разбить на такие части, из которых возможно составить второй многоугольник. Более краткая формулировка: если два многоугольника равновелики, то они равносоставлены. Изучению некоторых вопросов, связанных с равносоставленностью фигур, посвящена вся книжка в целом. Она разделена на две главы, в первой из которых изучаются многоугольники, а во второй - многогранники. Сформулированная выше теорема является одной из основных в первой главе. Во второй главе наиболее интересна теорема Дена: существуют многогранники, которые имеют одинаковый объем (равновелики), но не являются равносоставленными. Доказательству упомянутых двух теорем, ставших уже классическими, посвящена книга Вениамина Федоровича Кагана (1869-1953) «О преобразовании многогранников». Эта небольшая ярко написанная книжечка пользуется заслуженной известностью. Вместе с тем, доказательство теоремы Дена в книге В.Ф.Кагана несколько неэлементарно: оно использует понятие о непрерывности, свойства систем линейных уравнений и т.п. В последнее время швейцарскими геометрами были получены новые результаты, углубляющие теоремы Бояй-Гервина и Дена. Существование этих новых результатов, а также тот факт, что книга В.Ф.Кагана стала уже редкостью, побудили автора написать новую книгу по этому вопросу. Теоремы Бояй-Гервина и Дена доказаны соответственно в §1 и §5. Приведенные здесь доказательства значительно отличаются от имеющихся в книге В.Ф.Кагана. В частности, доказательство теоремы Дена отличается большей элементарностью и простотой. В §§2-4,6 приведены результаты самых последних лет (они принадлежат Хадвигеру, Глюру, Сидлеру; исключение составляет теорема, приведенная в §4, которая, повидимому, является новой). Наиболее простыми в книжке являются три-четыре первых параграфа. Для их понимания требуются знания в объеме примерно восьми классов средней школы. Вместе с тем, эти параграфы охватывают единый круг вопросов, связанных с измерением площадей многоугольников. Изложение материала в первых трех параграфах построено на основе лекции, прочитанной автором для школьников в МГУ, Следующая по трудности часть книжки - пятый параграф и начало шестого параграфа. Они требуют знания почти всего школьного курса геометрии и умения хорошо логически мыслить. Наконец, остальная, наиболее трудная часть книжки (мелкий шрифт) рассчитана в основном на студентов пединститутов и университетов.

Скачать книгу бесплатно (, 642 Kb)